Question

已知函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1），命題p：若f（x）的定義域?yàn)镽，則0≤a≤1；命題q：若f（x）的值域?yàn)镽，則0≤a≤1．那么（　�。�

A．p真q假

B．p假q真

C．“p或q”為假

D．“p且q”為真

Answer 1

分析：在解答命題p時(shí)，由于函數(shù)f（x）的定義域是R，所以ax²+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立．解此恒成立問題即可獲得實(shí)數(shù)a的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)最值的知識(shí)易得函數(shù)f（x）的值域；對(duì)命題q由于函數(shù)f（x）的值域是R，所以u(píng)=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．然后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可獲得問題的解答．

解答：解：因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，所以ax²+2x+1＞0對(duì)一切x∈R成立．
由此得

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1．
又因?yàn)閍x²+2x+1=a（x+

1

a

）²+1-

1

a

＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-

1

a

），
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞），
故命題p是假命題．
（2）因?yàn)閒（x）的值域是R，所以u(píng)=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．
當(dāng)a=0時(shí)，u=2x+1的值域?yàn)镽?（0，+∞）；
當(dāng)a≠0時(shí)，u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）等價(jià)于

a＞0 4a-4 4a ≤0.

解之得0＜a≤1
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0.1]．
故命題q是真命題．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、問題轉(zhuǎn)化的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．