Question

已知橢圓C：的離心率，橢圓C上任一點到兩個焦點的距離和為4，直線l過點P（1，0）與橢圓C交于不同的兩點A，B．
（I）求橢圓C的方程；
（II） 若，試求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由橢圓C：的離心率，解得，由此能求出橢圓C的方程．
（II）直線l過點P（1，0），當(dāng)直線l的斜率k不存在時，直線l的方程是x=1，此時，λ=1；當(dāng)直線l的斜率k存在時，設(shè)l的方程是y=k（x-1），當(dāng)k=0時，λ取最大值3或取最小值．
解答：解：（I）∵橢圓C：的離心率，
橢圓C上任一點到兩個焦點的距離和為4，
∴，
解得，
∴橢圓C的方程為：．
（II）∵直線l過點P（1，0），
①當(dāng)直線l的斜率k不存在時，直線l的方程是x=1，
此時，λ=1；
②當(dāng)直線l的斜率k存在時，設(shè)l的方程是y=k（x-1），
由，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
△=64k⁴-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0，直線與圓恒有公共點，下對參數(shù)的取值范圍進行討論
當(dāng)k=0時，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），
當(dāng)A（2，0），B（-2，0），P（1，0）時，
，
λ_min==；
當(dāng)B（2，0），A（-2，0），P（1，0）時，

λ_max==3．
∴實數(shù)λ的取值范圍是[，3]．
故實數(shù)λ的取值范圍是[，3]．
點評：本題考查橢圓的方程和求實數(shù)λ的取值范圍，考查直線和橢圓的位置關(guān)系及相關(guān)知識，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．