Question

已知△ABC中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，且滿足（a²+c²-b²）sin（B+C）=a²sinC．
（1）求角B的大�。�
（2）設(shè)

m

=(sinA，cos2A)，

n

=(4k，1)(k＞0)，若

m

•

n

的最大值為11，求k的值．

Answer 1

分析：（1）先利用正弦定理把題中條件轉(zhuǎn)化，再結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)論；
（2）直接根據(jù)向量的數(shù)量積得到

m

•

n

的表達式，再結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論即可求出k的值．

解答：解：（1）∵（a²+c²-b²）sinA=a²sinC
由正弦定理得：（a²+c²-b²）•a=a²c∴a²+c²-b²=ac
又∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，B∈（0，π）
∴B=

π

3

（2）∵A+C=

2π

3

，∴A∈(0，

2π

3

)
∴0＜sinA≤1
∵

m

•

n

=4ksinA+cos2A=-2（sinA-k）²+2k²+1
當(dāng)0＜k≤1時　(

m

•

n

)max=2k2+1=11
∴k=±

5

不合．
當(dāng)k＞1時  (

m

•

n

)max=4k-1=11
∴k=3滿足　　　
綜上，k=3

點評：本題主要考察正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，一般在解三角形時，要么角轉(zhuǎn)化為邊，要么邊轉(zhuǎn)化為角．