Question

14．若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù)y=x²，x∈[1，2]與函數(shù)y=x²，x∈[-2，-1]即為“同族函數(shù)”．請(qǐng)你找出下面哪些函數(shù)解析式也能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，答：①③⑤（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）
①y=|x-2|；  ②y=x；  ③y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x²）；  ④y=5^x；   ⑤y=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 由題意能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的函數(shù)必須滿足在其定義域上不單調(diào)．逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．

解答 解：由題意可得“同族函數(shù)”需對(duì)于同一函數(shù)值，有不同的自變量與之對(duì)應(yīng)．
故能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的函數(shù)必須滿足在其定義域上不單調(diào)．
∵函數(shù)y=|x-2|在（-∞，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=|x-2|能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故①正確；
∵函數(shù)y=x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=x不能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故②不正確；
∵函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x²）在（-1，0）上是減函數(shù)，在（0，1）上是增函數(shù)，
∴y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x²）能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故③正確；
∵函數(shù)y=5^x在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=5^x不能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故④不正確；
∵函數(shù)y=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{{x}^{2}}$在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴y=$\frac{{2}^{-x}+{2}^{x}}{{x}^{2}}$能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”，故⑤正確；
綜上所述，能夠被用來構(gòu)造“同族函數(shù)”的函數(shù)有①③⑤
故答案為：①③⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查“同族函數(shù)”的定義，轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．