Question

【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切， ．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）若，求證：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)的圖象與軸相交于點，由題意可得在該點處導(dǎo)數(shù)值為0，函數(shù)值為0，構(gòu)造方程組可得的值，將題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最大值即可；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)結(jié)合（Ⅰ）可得的單調(diào)性，從而有，化簡整理可得，運用換底公式及（Ⅰ）中的不等式可得 ，再次運用可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ） ， 設(shè)的圖象與軸相交于點，

則即

解得．

所以，

等價于．

設(shè)，則，

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ， 單調(diào)遞減，

所以，

即，（*），所以．

（Ⅱ）設(shè)，則，

由（Ⅰ）可知，當(dāng)時， ，

從而有，所以單調(diào)遞增，

又，所以，

從而有，即，

所以，即，

，

又，所以，

又，所以．

綜上可知， ．