已知函數(shù)f(x)=
4x
3x2+3
,x∈[0,2]

(1)求f(x)的值域;
(2)設(shè)a≠0,函數(shù)g(x)=
1
3
ax3-a2x
,x∈[0,2].若對任意x1∈[0,2],總存在x2∈[0,2],使f(x1)-g(x2)=0.求實數(shù)a的取值范圍.
(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo),f′(x)=
4
3
1-x2
(x2+1)2

令f'(x)=0得x=1或x=-1.
當(dāng)x∈(0,1)時,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,2)時,f'(x)<0,f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減.
f(0)=0,f(1)=
2
3
,f(2)=
8
15
,
所以當(dāng)x∈[0,2],f(x)的值域是[0,
2
3
]
;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)在[0,2]上的值域是A.
∵對任意x1∈[0,2],總存在x0∈[0,2],使f(x1)-g(x0)=0,
[0,
2
3
]⊆A

對函數(shù)g(x)求導(dǎo),g'(x)=ax2-a2
①當(dāng)a<0時,若x∈(0,2),g'(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減.
g(0)=0,g(2)=
8
3
a-2a2<0

∴當(dāng)x∈[0,2]時,不滿足[0,
2
3
]⊆A
;
②當(dāng)a>0時,g′(x)=a(x-
a
)(x+
a
)

令g'(x)=0,得x=
a
x=-
a
(舍去).
(i)當(dāng)x∈[0,2],0<
a
<2
時,列表:

g(0)=0,g(
a
)<0
,
又∵[0,
2
3
]⊆A
,∴g(2)=
8
3
a-2a2
2
3
,解得
1
3
≤a≤1

(ii)當(dāng)x∈(0,2),
a
≥2
時,g'(x)<0,∴函數(shù)在(0,2)上單調(diào)遞減,
∵g(0)=0,∴g(2)=
8
3
a-2a2<0
∴當(dāng)x∈[0,2]時,不滿足[0,
2
3
]⊆A

綜上,實數(shù)a的取值范圍是[
1
3
,1]
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1(a∈R)

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(Ⅱ)當(dāng)a≤
1
2
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1
x

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A.B.C.D.

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