Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R
（1）若f（1）=2，求a值；
（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）求f（x）的最小值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（1）=2，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，求得 a的值．
（2）對于函數(shù) f（x）=x²+|x-a|+1，分當a=0時、和當a≠0時兩種情況，分別討論f（x）的奇偶性．
（3）①當x≤a時，f（x）=x²-x+a-1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

，分a＞

1

2

時和a≤

1

2

時兩種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最小值．②當x＞a 時，f（x）=x²+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，分a＞-

1

2

時和當a≤-

1

2

時兩種情況，分別求得函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：（1）∵f（1）=2，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，
∴1+|1-a|+1=2，求得 a=1．
（2）對于函數(shù) f（x）=x²+|x-a|+1，
當a=0時，f（x）=x²+|x|+1為偶函數(shù)，
當a≠0時，f（x）=x²+|x|+1為非奇非偶函數(shù)．
（3）①當x≤a時，f（x）=x²-x+a-1=(x-

1

2

)2+a+

3

4

，
若a＞

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為f（

1

2

）=a+

3

4

；若a≤

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=a²+1．
②當x＞a 時，f（x）=x²+x-a+1=(x+

1

2

)2-a+

3

4

，
若a＞-

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為f（a）=a²+1；若a≤-

1

2

時，函數(shù)f（x）的最小值為f（-

1

2

）=-a+

3

4

．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的奇偶性的判斷，求二次函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．