Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC_l=4，E在BB_l上，且EB₁=1，D、F分別為CC_l、A_lC₁的中點．
（I）求證：B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求異面直線BD與EF所成的角余弦值；
（Ⅲ）求直線EF與平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC1=4，E在BB₁上，且EB₁=1，我們根據(jù)勾股定理，可得B₁D⊥DB，再由直三棱柱的性質(zhì)可得BA⊥B₁D，進而根據(jù)線面垂直的判定定理可得B₁D⊥面ABD；
（Ⅱ）取B₁C₁的中點G，連接GE、GF，則EG∥BD，我們可得∠GEF或其補角為BD、EF所成角，解三角形EGF即可求出異面直線BD與EF所成的角；
（Ⅲ）根據(jù)F，G分別為對應(yīng)邊的中點，得到GF∥A₁B₁∥AB；再結(jié)合EG∥BD可得平面ABD∥平面GEF，進而得到結(jié)論．
解答：解：（I）證明：由條件得 DB=2，D₁1=2，BB₁=4
∴BD²+DB₁²=BB₁²
∴B₁D⊥DB，
又AB⊥面BCC₁B₁，
∴BA⊥B₁D
∴B₁D⊥面ABD（3分）
（Ⅱ）取B₁C₁的中點G，連接GE、GF，則EG∥BD，
∴∠GEF或其補角為BD、EF所成角（4分）
∵A₁B₁⊥面BCC₁B₁，GF∥A₁B₁∴FG⊥面BCC₁B₁，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，GE=，GF=2，∴tan∠GEF=，
∴cos∠GEF=．
∴BD與EF所成角的余弦值．（8分）
（Ⅲ）∵F，G分別為對應(yīng)邊的中點，
∴GF∥A₁B₁∥AB，
又由第二問得：EG∥BD
∴平面ABD∥平面GEF，
所以有：EF∥平面ABD．
故直線EF與平面ABD所成角的正弦值為0．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，異面直線及其所成的角，線面所成的角等，（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知得到B₁D⊥DB，BA⊥B₁D，（2）的關(guān)鍵是找出異面直線夾角的平面角．