Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F（1，0），短軸的端點(diǎn)分別為B₁，B₂，且

FB1

•

FB2

=-a．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F且斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)D．設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，試求

|DP|

|MN|

的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由題意不妨設(shè)B₁（0，-b），B₂（0，b），則

FB1

=(-1，-b)，

FB2

=(-1，b)．
∵

FB1

•

FB2

=-a，∴1-b²=-a，又∵a²-b²=1，解得a=2，b=

3

．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）由題意得直線l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴弦MN的中點(diǎn)P(

4k2

3+4k2

，

-3k

3+4k2

)．
∴|MN|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k2 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

4k2+3

．
直線PD的方程為y+

3k

4k2+3

=-

1

k

(x-

4k2

4k2+3

)．
∴|DP|=

3 k2(k2+1)

4k2+3

．
∴

|DP|

|MN|

=

3 k2(k2+1) 4k2+3

12(k2+1) 4k2+3

=

1

4

k2 k2+1

=

1

4

1- 1 k2+1

．
又∵k²+1＞1，∴0＜

1

k2+1

＜1，
∴0＜

1

4

1- 1 k2+1

＜

1

4

．
∴

|DP|

|MN|

的取值范圍是(0，

1

4

)．