【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的圖象在處的切線過點,求的值;
(2)當(dāng)時,函數(shù)在上沒有零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時,存在實數(shù)使得,求證:.
【答案】(1);(2)或;(3)證明見解析.
【解析】分析:(1)先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率,再根據(jù)兩點間斜率公式列等式,解得的值;(2)先求導(dǎo)數(shù),根據(jù)a討論導(dǎo)數(shù)零點情況,再根據(jù)對應(yīng)單調(diào)性確定函數(shù)值域,最后根據(jù)無零點確定最小值大于零或最大值小于零,解得結(jié)果,(3)先根據(jù),解得,代入得,再轉(zhuǎn)化為一元函數(shù):最后利用導(dǎo)數(shù)證明h(t)< 0成立.
詳解:(1)因為f ′(x)=-a,所以k=f ′(1)=1-a,
又因為f(1)=-a-b,所以切線方程為y+a+b=(1-a)(x-1),
因為過點(2,0),所以a+b=1-a,即2a+b=1.
(2)當(dāng)b=0時,f(x)=lnx-ax,所以f ′(x)=-a=.
10若a≤0,則f ′(x)>0,所以f(x)在(,+∞)上遞增,所以f(x)>f()=-1-,
因為函數(shù)y=f(x)在(,+∞)上沒有零點,所以-1-≥0,即a≤-e;
20若a>0,由f ′(x)=0,得x=.
①當(dāng)≤時,即a≥e時,f ′(x)<0,f(x)在(,+∞)上遞減,
所以f(x)<f()=-1-<0,符合題意,所以a≥e;
②當(dāng)>時,即0<a<e時,若<x<,f ′(x)<0,f(x)在(,)上遞增;
若x>,f ′(x)>0,f(x)在(,+∞)上遞減,
所以f(x)在x=處取得極大值,即為最大值,
要使函數(shù)y=f(x)在(,+∞)上沒有零點,
必須滿足f()=ln-1=-lna-1<0,得a>,所以<a<e.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是a≤-e或a>.
(3)不妨設(shè)0<x1<x2,
由f(x1)=f(x2),得lnx1-ax1-b=lnx2-ax2-b,
因為a>0,所以.
又因為,f ′(x)在(0,+∞)上遞減,且f ′()=0,
故要證,只要證,
只要證,只要證,
只要證 (*),
令,記,
則,
所以h(t)在(1,+∞)上遞減,所以h(t)< h(1)=0,
所以(*)成立,所以原命題成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場經(jīng)銷某商品,顧客可以采用一次性付款或分期付款購買,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用一次性付款的概率是,經(jīng)銷件該產(chǎn)品,若顧客采用一次性付款,商場獲得利潤元;若顧客采用分期付款,商場獲得利潤元.
(Ⅰ)求位購買商品的顧客中至少有位采用一次性付款的概率.
(Ⅱ)若位顧客每人購買件該商品,求商場獲得利潤不超過元的概率.
(Ⅲ)若位顧客每人購買件該商品,設(shè)商場獲得的利潤為隨機變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在圓心角為,半徑為的扇形鐵皮上截取一塊矩形材料,其中點為圓心,點在圓弧上,點在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形鐵皮卷成一個以為母線的圓柱形鐵皮罐的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗),設(shè)矩形的邊長,圓柱形鐵皮罐的容積為.
(1)求圓柱形鐵皮罐的容積關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)為何值時,才使做出的圓柱形鐵皮罐的容積最大?最大容積是多少? (圓柱體積公式:,為圓柱的底面枳,為圓柱的高)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將參加數(shù)學(xué)競賽決賽的500名同學(xué)編號為:001,002,…,500,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本,且隨機抽的號碼為003,這500名學(xué)生分別在三個考點考試,從001到200在第一考點,從201到355在第二考點,從356到500在第三考點,則第二考點被抽中的人數(shù)為( )
A.14
B.15
C.16
D.17
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)問:能否為偶函數(shù)?請說明理由;
(2)總存在一個區(qū)間,當(dāng)時,對任意的實數(shù),方程無解,當(dāng)時,存在實數(shù),方程有解,求區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=6sinθ,以極點O為原點,極軸為x軸的非負半軸建立直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程;
(2)直線l與曲線C交于B,D兩點,當(dāng)|BD|取到最小值時,求a的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.“sinα= ”是“cos2α= ”的必要不充分條件
B.已知命題p:?x∈R,使2x>3x;命題q:?x∈(0,+∞),都有 < ,則p∧(¬q)是真命題
C.命題“若xy=0,則x=0或y=0”的否命題是“若xy≠0,則x≠0或y≠0”
D.從勻速傳遞的生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每隔5分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進行某項指標(biāo)檢測,這是分成抽樣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2a-b)cosC-ccosB=0.
(Ⅰ)求角C的值;
(Ⅱ)若三邊a,b,c滿足a+b=13,c=7,求△ABC的面積.
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