設(shè)A是單位圓上任意一點,是過點與軸垂直的直線,是直線與軸的交點,點在直線上,且滿足,當點在圓上運動時,記點的軌跡為曲線。
(1)求曲線的方程,判斷曲線為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標。
(2)過原點斜率為的直線交曲線于兩點,其中在第一象限,且它在軸上的射影為點,直線交曲線于另一點,是否存在,使得對任意的,都有?若存在,請說明理由。
(1)兩焦點坐標分別為,
(2)
【解析】本題主要考察求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,要求能正確理解橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì),并能熟練運用代數(shù)方法解決幾何問題,對運算能力有較高要求。
(Ⅰ)如圖1,設(shè),,則由,
可得,,所以,. ①
因為點在單位圓上運動,所以. ②
將①式代入②式即得所求曲線的方程為.
因為,所以當時,曲線是焦點在軸上的橢圓,兩焦點坐標分別為,;當時,曲線是焦點在軸上的橢圓,兩焦點坐標分別為,.
(Ⅱ)解法1:如圖2、3,,設(shè),,則,,
直線的方程為,將其代入橢圓的方程并整理可得
.
依題意可知此方程的兩根為,,于是由韋達定理可得,即.因為點H在直線QN上,所以.
于是,.
而等價于,即,又,得,
故存在,使得在其對應(yīng)的橢圓上,對任意的,都有.
解法2:如圖2、3,,設(shè),,則,,
因為,兩點在橢圓上,所以 兩式相減可得
. ③
依題意,由點在第一象限可知,點也在第一象限,且,不重合,
故. 于是由③式可得
. ④
又,,三點共線,所以,即.
于是由④式可得.
而等價于,即,又,得,
故存在,使得在其對應(yīng)的橢圓上,對任意的,都有.
【點評】本題考查橢圓的標準方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系;考查分類討論的數(shù)學(xué)思想以及運算求解的能力.本題是一個橢圓模型,求解標準方程時注意對焦點的位置分類討論,不要漏解;對于探討性問題一直是高考考查的熱點,一般先假設(shè)結(jié)論成立,再逆推所需要求解的條件,對運算求解能力和邏輯推理能力有較高的要求.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
設(shè)A是單位圓x2+y2=1上任意一點,l是過點A與x軸垂直的直線,D是直線l與x軸的交點,點M在直線l上,且滿足當點A在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線C。
(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標。
(2)過原點斜率為K的直線交曲線C于P,Q兩點,其中P在第一象限,且它在y軸上的射影為點N,直線QN交曲線C于另一點H,是否存在m,使得對任意的K>0,都有PQ⊥PH?若存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省佛山市順德區(qū)高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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