設A是單位圓x2+y2=1上的任意一點,i是過點A與x軸垂直的直線,D是直線i與x軸的交點,點M在直線l上,且滿足丨DM丨=m丨DA丨(m>0,且m≠1).當點A在圓上運動時,記點M的軌跡為曲線C.
(I)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求焦點坐標;
(Ⅱ)過原點且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點,其中P在第一象限,它在y軸上的射影為點N,直線QN交曲線C于另一點H,是否存在m,使得對任意的k>0,都有PQ⊥PH?若存在,求m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(I)設M(x,y),A(x,y),根據(jù)丨DM丨=m丨DA丨,確定坐標之間的關系x=x,|y|=|y|,利用點A在圓上運動即得所求曲線C的方程;根據(jù)m∈(0,1)∪(1,+∞),分類討論,可確定焦點坐標;
(Ⅱ)?x1∈(0,1),設P(x1,y1),H(x2,y2),則Q(-x1,-y1),N(0,y1),利用P,H兩點在橢圓C上,可得,從而可得可得.利用Q,N,H三點共線,及PQ⊥PH,即可求得結(jié)論.
解答:解:(I)如圖1,設M(x,y),A(x,y
∵丨DM丨=m丨DA丨,∴x=x,|y|=m|y|
∴x=x,|y|=|y|①
∵點A在圓上運動,∴
①代入②即得所求曲線C的方程為
∵m∈(0,1)∪(1,+∞),
∴0<m<1時,曲線C是焦點在x軸上的橢圓,兩焦點坐標分別為(),
m>1時,曲線C是焦點在y軸上的橢圓,兩焦點坐標分別為(),
(Ⅱ)如圖2、3,?x1∈(0,1),設P(x1,y1),H(x2,y2),則Q(-x1,-y1),N(0,y1),
∵P,H兩點在橢圓C上,∴
①-②可得
∵Q,N,H三點共線,∴kQN=kQH,∴
∴kPQ•kPH=
∵PQ⊥PH,∴kPQ•kPH=-1

∵m>0,∴
故存在,使得在其對應的橢圓上,對任意k>0,都有PQ⊥PH

點評:本題考查軌跡方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查代入法求軌跡方程,計算要小心.
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(1)求曲線C的方程,判斷曲線C為何種圓錐曲線,并求其焦點坐標。

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