Question

20．已知函數(shù)$f（x）={x^{{m^2}-4m}}$（實數(shù)m∈Z）的圖象關于y軸對稱，且f（2）＞f（3）．
（1）求m的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（a+2）＜f（1-2a），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（2）＞f（3），得到m²-4m＜0，從而0＜m＜4，由m∈Z，冪函數(shù)f（x）=xm2-4m（m∈Z）的圖象關于y軸對稱，得到m²-4m為偶數(shù)，由此能求出函數(shù)的解析式．
（2）由已知得|1-2a|＜|a+2|，且1-2a≠0，a+2≠0，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）={x^{{m^2}-4m}}$（實數(shù)m∈Z）的圖象關于y軸對稱，且f（2）＞f（3）．
∴在區(qū)間（0，+∞）為減函數(shù)，
∴m²-4m＜0，解得0＜m＜4，
∵m∈Z，冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{{m}^{2}}$^-4m（m∈Z）的圖象關于y軸對稱，
∴m²-4m為偶數(shù)，∴m=2，
函數(shù)的解析式為：f（x）=x^-4．
（2）不等式f（a+2）＜f（1-2a），函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間（0，+∞）為減函數(shù)，
∴|1-2a|＜|a+2|，解得a∈（-$\frac{1}{3}$，3），
又∵1-2a≠0，a+2≠0
∴實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，3）．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．