Question

如圖，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D為線段AB的中點．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉而成的．記二面角B－AO－C的大小為．

(Ⅰ)當平面COD⊥平面AOB時，求的值；

(Ⅱ)當∈[，]時，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(Ⅰ)如圖，以O為原點，在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz， 　　則A(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，1，)，C(2sin，2cos，0)． 　　設＝(x，y，z)為平面COD的一個法向量， 　　由得 　　取z＝sin，則＝(cos，－sin，sin)． 　　因為平面AOB的一個法向量為＝(1，0，0)， 　　由平面COD⊥平面AOB得·＝0， 　　所以cos＝0，即＝．6分 　　(Ⅱ)設二面角C－OD－B的大小為α， 　　由(Ⅰ)得當＝時，cos＝0； 　　當∈(，]時，tan≤－，cosα＝＝＝－， 　　故－≤cos＜0． 　　綜上，二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍為[－，0]．12分 　　解法二：(Ⅰ)解：在平面AOB內過B作OD的垂線，垂足為E， 　　因為平面AOB⊥平面COD， 　　平面AOB∩平面COD＝OD， 　　所以BE⊥平面COD， 　　故BE⊥CO． 　　又因為OC⊥AO， 　　所以OC⊥平面AOB， 　　故OC⊥OB． 　　又因為OB⊥OA，OC⊥OA， 　　所以二面角B－AO－C的平面角為∠COB， 　　即＝．6分 　　(Ⅱ)解：當＝時，二面角C－OD－B的余弦值為0； 　　當∈(，]時， 　　過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連結CG， 　　則∠CGF的補角為二面角C－OD－B的平面角． 　　在Rt△OCF中，CF＝2sin，OF＝－2cos， 　　在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cos，CG＝， 　　所以cos∠CGF＝＝－． 　　因為∈(，]，tan≤－， 　　故0＜cos∠CGF＝≤． 　　所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范圍為[－，0]．12分