Question

在△ABC中，角A、B、C的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，S為△ABC的面積．
（Ⅰ）若4S=a²+b²-c²，求角C；
（Ⅱ）若4

3

S=a2+b2+c2，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理得到a²+b²-c²=2abcosC，利用三角形的面積公式表示出S，代入已知的等式中求出tanC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）利用三角形的面積公式表示出S，利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，分別代入已知的等式中，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用基本不等式變形，根據(jù)正弦函數(shù)的值域，得到sin（C+

π

6

）=1，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，將C的度數(shù)代入得到a=b，即可確定出三角形ABC為等邊三角形．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理得：a²+b²-c²=2abcosC，且S=

1

2

absinC，
∴4S=a²+b²-c²=2abcosC=4×

1

2

absinC，即tanC=1，
∵C為三角形的內(nèi)角，
∴C=

π

4

；
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，4

3

S=a²+b²+c²，
∴4

3

S=4

3

×

1

2

absinC=a²+b²+a²+b²-2abcosC，即

3

absinC+abcosC=a²+b²，
∴2absin（C+

π

6

）=a²+b²≥2ab，即sin（C+

π

6

）≥1，
∴sin（C+

π

6

）=1，
∵C+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），∴C+

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
將C=

π

3

代入得：2ab=a²+b²，即a=b，
則△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，基本不等式的運(yùn)用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．