Question

已知函數(shù)，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤．
（Ⅰ）當(dāng)cosθ=0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）是否有極值；
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；
（Ⅲ）若對（II）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2a-1，a）內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可判定是否有極值．
（2）先求出極值點(diǎn)，f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值，求出極小值，使函數(shù)f（x）的極小值大于零建立不等關(guān)系，求出參數(shù)θ的取值范圍即可．
（3）由（II）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與內(nèi)都是增函數(shù)，只需（2a-1，a）是區(qū)間（-∞，0）與的子集即可．
解答：解：（I）解：當(dāng)cosθ=0時(shí)，則f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
故無極值．
（II）解：f'（x）=12x²-6xcosθ，令f'（x）=0，
得．
由及（I），只需考慮cosθ＞0的情況．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）的符號及f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，）		（）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

因此，函數(shù)f（x）在處取得極小值，且．
要使，必有，
可得，所以
（III）解：由（II）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與內(nèi)都是增函數(shù)．
由題設(shè)，函數(shù)f（x）在（2a-1，a）內(nèi)是增函數(shù)，
則a須滿足不等式組或
由（II），參數(shù)時(shí)，．要使不等式關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有．
綜上，解得a≤0或．
所以a的取值范圍是．
點(diǎn)評：本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力．