Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=x²+x-1．
（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）解方程f（x）=1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，再設(shè)x＜0，根據(jù)函數(shù)的表達式結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)得f（x）=-f（-x）=x²-1，最后綜合可得函數(shù)f（x）的表達式；
（2）當x＞0時，函數(shù)圖象為開口向下拋物線的右側(cè)，當x＜0時，函數(shù)圖象為開口向上拋物線的左側(cè)，并且f（0）=0，由此可得函數(shù)圖象如圖；
（3）對照（2）的函數(shù)圖象，可圖解方程f（x）=1．

解答：解：（1）1°因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以x=0時，f（0）=0--------------（2分）
2°設(shè)x＜0，則-x＞0，根據(jù)當x＞0時，f（x）=x²+x-1，得f（-x）=x²-x-1，
∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=-x²+x+1----------（4分）
綜上：f（x）=

x2+x-1，x＞0 0，x=0 -x2+x+1，x＜0

------------5分
（2）當x＞0時，函數(shù)圖象為開口向下拋物線的右側(cè)，當x＜0時，函數(shù)圖象為開口向上拋物線的左側(cè)，
并且f（0）=0，由此可得函數(shù)圖象如右圖------------------（10分）
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)圖象，可得當f（x）=1時，函數(shù)函數(shù)f（x）的圖象在x=1時成立，
方程f（x）=1的解x=1．-------（15分）

點評：本題以二次函數(shù)和分段函數(shù)為例，著重考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和奇偶性與單調(diào)性的綜合等知識點，屬于基礎(chǔ)題．