Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₃=9．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{log₂（a_n-1）}的公差為d．根據(jù)a₁和a₃的值求得d，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{log₂（a_n-1）}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n．
（2）把（1）中求得的a_n代入++…+中，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求得++…+=1-原式得證．
解答：（I）解：設(shè)等差數(shù)列{log₂（a_n-1）}的公差為d．
由a₁=3，a₃=9得2（log₂2+d）=log₂2+log₂8，即d=1．
所以log₂（a_n-1）=1+（n-1）×1=n，即a_n=2ⁿ+1．
（II）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124816756064041/SYS201310251248167560640016_DA/7.png">==，
所以++…+=+++…+==1-＜1，
即得證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．屬基礎(chǔ)題．