Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₃=9
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求使

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＞

2012

2013

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知，(an-1)2=（a_n-1-1）•（a_n+1-1）（n≥2），再由a₁=3，a₃=9即可求得a₂，a₄歸納可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，a_n=2ⁿ+1，從而知數(shù)列{

1

an+1-an

}為首項(xiàng)與公比均為

1

2

的等比數(shù)列，從而可求其前n項(xiàng)和，依題意，解不等式即可．

解答：解：（1）∵數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3=2¹，a₃=9=2³+1，
∴a_n＞1，(a2-1)2=（a₁-1）•（a₃-1）=2×8=16，
∴a₂=5=2²+1；
同理可求a₄=17=2⁴+1，
a₅=33=2⁵+1，
…
∴a_n=2ⁿ+1；
（2）∵a_n=2ⁿ+1，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，故

1

an+1-an

=(

1

2

)n，
∴

1 an+1-an

1 an-an-1

=

1

2

，又

1

a2-a1

=

1

2

，
∴數(shù)列{

1

an+1-an

}為首項(xiàng)與公比均為

1

2

的等比數(shù)列，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n＞

2012

2013

，
∴n≥11（n∈N^*）．
∴正整數(shù)n_min=11．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的求和，考查歸納推理的應(yīng)用與等比關(guān)系的確定，屬于中檔題．