Question

【題目】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn).

（1）若，求的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于另一點(diǎn)，若是的外心，證明:為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程消，根據(jù)韋達(dá)定理求出兩根之和、兩根之積，由，可得，兩根之和、兩根之積即可求解.

（2）由（1）得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，利用弦長(zhǎng)公式求出，根據(jù)題意可得的垂直平分線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，進(jìn)而可求解.

（1）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，

代入得，

設(shè)，則，

若，則，解得，

所以，的方程為

（2）由（1）得的中點(diǎn)坐標(biāo)為

所以

因?yàn)?/span>是的外心，所以是線段的垂直平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)，

的垂直平分線為

令，得，即，

所以，

，所以為定值.