Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an=f(

1

an-1

)，n∈N*且n≥2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)n∈N^*，設(shè)Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

，求證：Sn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，an=f(

1

an-1

)，n∈N*，n≥2，可得a_n-a_n-1=

2

3

，從而數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）裂項(xiàng)可得

1

anan+1

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，求出S_n，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵函數(shù)f(x)=

2

3

+

1

x

(x＞0)，an=f(

1

an-1

)，n∈N*，n≥2，
∴a_n-a_n-1=

2

3

∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
∵a₁=1，
∴a_n=

2n+1

3

（2）證明：∵

1

anan+1

=

9

2

(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
∴Sn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+

1

a3a4

+…+

1

anan+1

=

9

2

(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

9

2

(

1

3

-

1

2n+3

)＜

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求和，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．