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(2012•太原模擬)設函數f(x)=a(x+
1
x
)+2lnx,g(x)=x2

(1)若a=
1
2
時,直線l與函數f(x)和函數g(x)的圖象相切于同一點,求切線l的方程;
(2)若f(x)在[2,4]內為單調函數,求實數a的取值范圍.
說明:請考生在第22、23、24三題中任選一題作答,如果多做,則按所做第一題記分.
分析:(1)由f(x)求出其導函數,把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率,兩次求出的斜率相等列出關于切點的橫坐標x的方程,求出切點的坐標,根據得出的切點坐標,同時由f(x)求出其導函數,把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率,根據切點坐標和切線過原點寫出切線方程即可.
(2)通過解f′(x),求其單調區(qū)間,轉化為恒成立問題求a的取值范圍.
解答:解:(1)若a=
1
2
時,
f′(x)=
1
2
(1-
1
x2
)+
2
x
=
x2+4x-1
2x2
,g'(x)=2x
因為直線l與函數f(x)、g(x)的圖象相切于同一點,
從而有:
x2+4x-1
2x2
=2x(4分)
解得x=1,x=
1
4
,(x=-1不在定義域內,故舍去)
又f'(1)=2,f(1)=1,
f′(
1
4
)=
1
2
,f(
1
4
)=
 1
16
,
g'(1)=2,g(1)=1;
g′(
1
4
)=
1
2
g(
1
4
)=
1
16

①當x=1時,則l的方程為:y=2x-1
②當x=
1
4
時,又因為點(
1
4
,
1
16
)
也在f(x)的圖象上,
所以l的方程為y=
1
2
x-
1
16

綜上所述直線l的方程為y=2x-1或y=
1
2
x-
1
16

(2)∵f′(x)=a(1-
1
x2
)+
2
x
=
ax2+2x-a
x2
,
要使f(x)在[2,4]為單調增函數,則f′(x)≥0在[2,4]恒成立,
ax2+2x-a
x2
≥0在[2,4]恒成立,即ax2+2x-a≥0在[2,4]恒成立,
又a(x2-1)≥-2x即a≥
2x
1-x2
=
2
1
x
-x
(2≤x≤4)(8分)
u(x)=
1
x
-x
(2≤x≤4),
因為u′(x)=-
1
x2
-1
<0(x>0),
所以u(x)在(0,+∞)上單調遞減.
∴當2≤x≤4時,
2
1
x
-x
∈[-
4
3
,-
8
15
]
所以要使a≥
2x
1-x2
=
2
1
x
-x
(2≤x≤4),
只須當a≥-
8
15
時即可,(10分)
同理要為f(x)單調減函數,則f′(x)≤0在[2,4]恒成立,
易得a≤-
4
3

綜上,f(x)在[2,4]為單調函數,
則a的取值范圍為a≤-
4
3
a≥-
8
15
(12分).
點評:對于已知函數單調性,求參數范圍問題的常見解法;設函數f(x)在(a,b)上可導,若f(x)在(a,b)上是增函數,則可得f′(x)≥0,從而建立了關于待求參數的不等式,同理,若f(x)在(a,b)上是減函數,,則可得f′(x)≤0.
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2
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