Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若．
（1）求證：{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

（1）解：由題意可得：當n≥2時，由 a_n =S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），可得 a_n =2a_n-1-1，…（2分）
∴a_n+1-1=2（a_n-1-1）．…（4分）
又因為S₁=2a₁+1，所以a₁=-1，a₁-1=-2≠0，
∴{a_n-1}是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列．…（7分）
（2）解：由（1）知，，即，…（9分）
∴，（11分）
故．（14分）
分析：（1）數(shù)列的第n項與前n項和的關系求得 a_n+1-1=2（a_n-1-1），a₁-1=-2≠0，可得{a_n-1}是以-2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）求出，由此求得數(shù)列{b_n}的通項公式，再用裂項法求出數(shù)列{b_n}的前n項和．
點評：本題主要考查等比關系的確定，用裂項法對數(shù)列進行求和，數(shù)列的第n項與前n項和的關系，屬于難題．