Question

已知f（x）=3x²-x+m，（x∈R），g（x）=lnx
（1）若函數(shù) f（x）與 g（x）的圖象在 x=x₀處的切線平行，求x₀的值；
（2）求當曲線y=f（x）與y=g（x）有公共切線時，實數(shù)m的取值范圍；并求此時函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）在區(qū)間上的最值（用m表示）．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=6x-1，…（2分）
由題意知，即…（3分）
解得，或…（4分）
∵x₀＞0，∴…（5分）
（2）若曲線y=f（x）與y=g（x）相切且在交點處有公共切線
由（1）得切點橫坐標為，…（6分）
∴，
∴，
∴，…（8分）
由數(shù)形結(jié)合可知，當時，f（x）與g（x）有公共切線 …（9分）
∵函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），
∴F'（x）=f′（x）-g′（x）===…（10分）
則F'（x）與F（x）在區(qū)間的變化如下表：

x
F'（x）	-	0	+
F（x）	↘	極小值	↗

…（12分）
又∵，
∴當x∈時，，（），
F（x）_max=F（1）=m+2，（） …（14分）
分析：（1）先求出f（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù) f（x）與 g（x）的圖象在 x=x₀處的切線平行，可知斜率相等，也即f′（x）和g′（x）在x=x₀處的值相等，從而求出x₀的值，同時注意由于g（x）=lnx，可知x＞0判斷x₀的取值；
（2）由題知曲線y=f（x）與y=g（x）有公共切線時，說明有公共切點，根據(jù)（1）可知切點橫坐標為，可以求出m的范圍，已知函數(shù)F（x）=f（x）-g（x），代入進行求導(dǎo)，令F′（x）=0，求出極值點，判斷單調(diào)區(qū)間，列表求其最值；
點評：第一問容易出錯的是x＞0的隱含條件，許多同學(xué)不知道，從而得出兩個x₀的值；第二問對F（x）正確求導(dǎo)，并求出極值是解題的關(guān)鍵，對這類利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題，用列表的方式來求解，不會容易出錯，本題難度不大；