Question

【題目】

如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面A1ABB1．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若直線AC與平面A1BC所成的角為θ，二面角A1-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析．

（Ⅱ），證明見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于D，則

由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1，且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B，得

AD⊥平面A1BC，又BC平面A1BC，所以AD⊥BC．

因?yàn)槿�棱�?/span>ABC—A1B1C1是直三棱柱，則AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．

又AA1AD=A，從而BC⊥側(cè)面A1ABB1，

又AB側(cè)面A1ABB1，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A1BC所成的角，

是二面角A1—BC—A的平面角，即

于是在中，在中，，

由，得，又，所以．

解法2：由（1）知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在的直線分軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

則，

于是，．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

由得

可取，于是與的夾角為銳角，則與互為余角．

所以，，

所以．

于是由，得，

即，又所以．

第（1）問(wèn)證明線線垂直，一般先證線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；第（2）問(wèn)若用傳統(tǒng)方法一般來(lái)說(shuō)要先作垂直，進(jìn)而得直角三角形．若用向量方法，關(guān)鍵在求法向量．