如圖，在四棱錐A－ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角形，AC與BD的交點為O，E為側(cè)棱SC上一點．

(1)當(dāng)E為側(cè)棱SC的中點時，求證：SA∥平面BDE；

(2)求證：平面BDE⊥平面SAC；

(3)當(dāng)二面角E－BD－C的大小為45°時，試判斷點E在SC上的位置，并說明理由．

答案：
解析：

　　證明：(Ⅰ)連接，由條件可得∥．

　　因為平面，平面，

　　所以∥平面．

　　(Ⅱ)法一：證明：由已知可得，，是中點，

　　所以，

　　又因為四邊形是正方形，所以．

　　因為，所以．

　　又因為，所以平面平面．

　　(Ⅱ)法二：證明：由(Ⅰ)知，．

　　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

　　設(shè)四棱錐的底面邊長為2，

　　則，，，

　　，，．

　　所以，．

　　設(shè)()，由已知可求得．

　　所以，．

　　設(shè)平面法向量為，

　　則　即

　　令，得．

　　易知是平面的法向量．

　　因為，

　　所以，所以平面平面　　(8分)

　　(Ⅲ)解：設(shè)()，由(Ⅱ)可知，

　　平面法向量為．

　　因為，

　　所以是平面的一個法向量．

　　由已知二面角的大小為．

　　所以，

　　所以，解得．

　　所以點是的中點　　(12)


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD四邊長為1的菱形，∠ABC=
π4
，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點，N為BC的中點．
（Ⅰ）證明：直線MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大�。�
（Ⅲ）求二面角A-OD-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•蘭州一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PA=AB，求二面角A-PD-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD，BC=2AD，BC∥AD，AD⊥DC．
（Ⅰ）證明AC⊥PB；
（Ⅱ）求二面角C-PB-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點，DE=EC．
（1）求證：平面ABE⊥平面BEF；
（2）設(shè)PA=a，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角θ∈[
π
4
，
π
3
]，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面AC，且四邊形ABCD是矩形，則該四棱錐的四個側(cè)面中是直角三角形的有（　�。�

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