Question

橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，直線l過F₂與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，以AB為直徑的圓恰好過O，求直線l的方程．

Answer 1

設(shè)F₂（

2

，0），設(shè)直線l的方程為y=k（x-

2

），
由

x2 4 + y2 2 =1 y=k(x- 2 )

得（1+2k²）x²-4

2

k²x+4（k²-1）=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4 2

1+2k2

，x₁•x₂=

4(k2-1)

1+2k2

，
又y₁=k（x₁-

2

），y₂=k（x₂-

2

），∴y₁•y₂=k²x₁•x₂-

2

k²（x₁+x₂）+2k²．
又

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），
直線l過F₂與橢圓相交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，以AB為直徑的圓恰好過O，

OA

⊥ 

OB

，

OA

•

OB

=0，
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0，
即

4(k2+1)

1+2k2

+k²×

4(k2+1)

1+2k2

-

2

k²（

4 2

1+2k2

）+2k²=0，
解得k=±

2

，
當(dāng)k不存在時，

OA

與

OB

不垂直．
∴所求直線方程為：y=±

2

（x-

2

）．