已知拋物線C:y2=4x,一動橢圓C1的左焦點及左準線與拋物線C的焦點F及準線l分別重合.

(1)點P在橢圓C1的短軸的一個端點B與焦點F的連線上,且,求點P的軌跡C2的方程;

(2)若直線x+y+m=0與點P的軌跡C2交于兩點M、N,問是否存在實數(shù)m,使OM⊥ON成立.若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.

解:(1)由拋物線方程y2=4x得焦點F(1,0),準線方程為x=-1,設橢圓中心為O′(t,0),則其半焦距為c=t-1,又左準線方程為x=-1,則t+1=,∴a2=(t+1)c=t2-1,

∴b2=a2-c2=(t2-1)-(t-1)2=2t-2.可取橢圓短軸上一個端點B(t,),

其中t>1,設P點坐標為(x,y),,

∴λ==2.

消去t得y2=(x-1),x>1,即為點P的軌跡C2的方程.                             

(2)由3y2+2y+2m+2=0.此方程應有兩個不相等的非零實根,

解得

即m<且m≠-1.                                                           

設M(x1,y1),N(x2,y2).假設存在實數(shù)m,使,則x1x2+y1y2=0,

又x1=-y1-m,x2=-y2-m,則有2y1y2+m(y1+y2)+m2=0.

而y1+y2=,y1y2=,代入上式得:m+m2=0,即3m2+2m+4=0,

此方程無實數(shù)解,故不存在m使.

練習冊系列答案
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精英家教網如圖,已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點. A到拋物線準線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M(O為坐標原點).
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
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(Ⅲ)以M為圓心,4為半徑作圓M,點P(m,0)是x軸上的一個動點,試討論直線AP與圓M的位置關系.

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(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設直線y=kx+b(k≠0)與拋物線C交于兩點A(x1,y1),B(x2,y2),且|y1-y2|=a(a>0),求證:a2=
16(1-kb)k2

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已知拋物線C:y2=4x,點M(m,0)在x軸的正半軸上,過M的直線l與C相交于A、B兩點,O為坐標原點.
(I)若m=1,且直線l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程;
(II)問是否存在定點M,不論直線l繞點M如何轉動,使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值.

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已知拋物線C:y2=8x與點M(-2,2),過C的焦點,且斜率為k的直線與C交于A,B兩點,若
MA
MB
=0,則k=(  )

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