(1)點P在橢圓C1的短軸的一個端點B與焦點F的連線上,且,求點P的軌跡C2的方程;
(2)若直線x+y+m=0與點P的軌跡C2交于兩點M、N,問是否存在實數(shù)m,使OM⊥ON成立.若存在,求出m的值,若不存在,說明理由.
解:(1)由拋物線方程y2=4x得焦點F(1,0),準線方程為x=-1,設橢圓中心為O′(t,0),則其半焦距為c=t-1,又左準線方程為x=-1,則t+1=,∴a2=(t+1)c=t2-1,
∴b2=a2-c2=(t2-1)-(t-1)2=2t-2.可取橢圓短軸上一個端點B(t,),
其中t>1,設P點坐標為(x,y),,
∴λ==2.
∴
即
消去t得y2=(x-1),x>1,即為點P的軌跡C2的方程.
(2)由3y2+2y+2m+2=0.此方程應有兩個不相等的非零實根,
則解得
即m<且m≠-1.
設M(x1,y1),N(x2,y2).假設存在實數(shù)m,使,則x1x2+y1y2=0,
又x1=-y1-m,x2=-y2-m,則有2y1y2+m(y1+y2)+m2=0.
而y1+y2=,y1y2=,代入上式得:m+m2=0,即3m2+2m+4=0,
此方程無實數(shù)解,故不存在m使.
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