Question

（2009•淮安模擬）已知f₁（x）=sinx+cosx，記f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），則f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）+…+f₂₀₀₉（

π

4

）=

2

．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)求導(dǎo)法則求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀察所求的結(jié)果，歸納其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)標(biāo)號(hào)的周期性為4，再將代入，每四項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，即可求得正確答案．

解答：解：f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此類(lèi)推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）+…+f₂₀₀₉（

π

4

）=f₁（

π

4

）=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

故答案為：

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運(yùn)用，屬于中檔題．熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵．