(2009•淮安模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)設(shè)a≥1,函數(shù)g(x)=x2-3ax+2a2-5,若對于任意x0∈(0,1),總存在x1∈(0,1),使得f(x1)=g(x0)成立,求a的取值范圍;
(3)對任意x∈(0,+∞),求證:
1
x+1
<ln
x+1
x
1
x
分析:(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)分別求出兩個函數(shù)的取值范圍,要使對于任意x0∈(0,1),總存在x1∈(0,1),使得f(x1)=g(x0)成立,只需2a2-5<0即可;
(3)結(jié)合(1)的結(jié)論可證后半部分,再利用構(gòu)造函數(shù)的方式證明前半部分,可得答案.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=lnx-x+1,x∈(0,+∞),∴f′(x)=
1
x
-1
令其為0可得x=1,
并且當(dāng)x∈(0,1)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,
故f(x)在x=1處取到極大值f(1)=0
(2)由(1)知,當(dāng)x1∈(0,1)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,
故f(x1)<f(1)=0,
因為a≥1,函數(shù)g(x)=x2-3ax+2a2-5,為開口向上的拋物線,對稱軸為x=
3a
2
3
2

故函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù),故g(1)<g(x0)<g(0),
即g(x0)<2a2-5,
要使對于任意x0∈(0,1),總存在x1∈(0,1),使得f(x1)=g(x0)成立,
只需2a2-5<0即可,解得-
10
2
<a<
10
2
,
結(jié)合a≥1可得1≤a<
10
2

(3)由(1)可知f(x)在x=1處取到極大值f(1)=0,也是最大值,
故f(x)≤f(1)=0,即lnx-x+1≤0,即lnx≤x-1,當(dāng)x=1時取等號,
可證ln
x+1
x
=ln(1+
1
x
)≤(1+
1
x
)-1=
1
x
,又1+
1
x
≠1
,故ln
x+1
x
1
x

構(gòu)造函數(shù)F(x)=
1
x+1
-ln
x+1
x
,則F′(x)=-
1
(x+1)2
-
x
x+1
(-
1
x2
)
=
1
x(x+1)2
>0
即函數(shù)F(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x趨向于正無窮大時,F(xiàn)(x)趨向于0,
故F(x)<0,即
1
x+1
<ln
x+1
x

故有
1
x+1
<ln
x+1
x
1
x
點評:本題為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)來解決問題是關(guān)鍵,屬中檔題.
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