Question

12．已知f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+4}$（x＞0），若數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=f（a_n-1），n∈N^*，且n≥2，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 通過(guò)a_n=$\sqrt{{{a}_{n-1}}^{2}+4}$（n≥2）可知${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+4，進(jìn)而可知數(shù)列{${{a}_{n}}^{2}$}是以首項(xiàng)、公差均為4的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，a_n＞0，
∵a_n=$\sqrt{{{a}_{n-1}}^{2}+4}$（n≥2），
∴${{a}_{n+1}}^{2}$=${{a}_{n}}^{2}$+4，
又∵${{a}_{1}}^{2}$=4，
∴數(shù)列{${{a}_{n}}^{2}$}是以首項(xiàng)、公差均為4的等差數(shù)列，
∴${{a}_{n}}^{2}$=4n，
∴a_n=2$\sqrt{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．