Question

定義：sgn(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，若已知函數(shù)f(x)=ax-

sgn(x)

a|x|

（a＞0且a≠1）滿足f（1）=

3

2

．
（1）解不等式：f（x）≤2；
（2）若f（2t）+mf（t）+4≥0對(duì)于任意正實(shí)數(shù)t恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（1）=

3

2

，可求a的值，根據(jù)所給定義，分類討論化簡函數(shù)，分別解不等式，即可得到結(jié)論；
（2）表示出相應(yīng)函數(shù)，將不等式等價(jià)變形，利用換元法，再分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，f（1）=a-

1

a

=

3

2

，∴a=2或-

1

2

（舍），…（1分）
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2x+

1

2x

≥2，∵f（x）=2x+

1

2x

≤2，∴2x+

1

2x

=2，∴2x=

1

2x

=1，∴x=0；
∵x＞0，∴無解，…（3分）
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=2⁰-

0

20

=1≤2，∴x=0，…（4分）
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=2^x-

-1

2-x

=2^x+1≤2，∴x≤0，
因?yàn)閤＜0，所以x＜0，…（6分）
綜上所述，不等式的解集為（-∞，0]．…（7分）
（2）因?yàn)閠＞0，所以f（t）=2^t+

1

2t

，f（2t）=2^2t+

1

22t

，
∴f（2t）+mf（t）+4=2^2t+

1

22t

+m（2^t+

1

2t

）+4≥0恒成立，…（8分）
令u=2^t+

1

2t

（t＞0）∈[2，+∞），…（9分）
則2^2t+

1

22t

+m（2^t+

1

2t

）+4=u²-2+mu+4=u²+mu+2≥0恒成立，
∴m≥-（u+

2

u

）（u∈[2，+∞））恒成立，
∴m≥[-（u+

2

u

）]_max（u∈[2，+∞）），…（11分）
∵y=-（u+

2

u

）在[2，+∞）上單調(diào)遞減，…（12分）
∴[-（u+

2

u

）]_max（u∈[2，+∞））=-3，…（13分）
綜上所述，m≥-3．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查解不等式，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的解析式．