Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的任意一點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）（c＞0）的距離之和為2

2

，且其焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B．問(wèn)是否存在以A，B為直徑的圓過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F₂．若存在，求出m的值；不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓上的任意一點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2

2

，且其焦距為2，建立方程組，求得幾何量，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，及向量知識(shí)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）依題意可知

2a=2 2 2c=2

又b²=a²-c²，解得

a= 2 b=1

------------------（2分）
則橢圓方程為

x2

2

+y2=1．---------------------（4分）
（Ⅱ）聯(lián)立方程

x2 2 +y2=1 x-y+m=0

消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0（6分）
則△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0
解得-

3

＜m＜

3

①--------------------（7分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

，
又F₂（1，0），∴

F2A

=(x1-1，y1)，

F2B

=(x2-1，y2)
若存在，則

F2A

•

F2B

=0，即：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0②
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，∴y1y2=x1x2+m(x1+x2)+m2
代入②有2x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2+1=0
∴2×

2m2-2

3

+(m-1)(-

4m

3

)+m2+1=0，
解得m=-

7 +2

3

或m=

7 -2

3

------------------（11分）
檢驗(yàn)都滿足①，∴m=

-2± 7

3

------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．