Question

已知b函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a＜0時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)a=

1

2

時，求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）本題要求先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，故應(yīng)注意做題格式，用定義法證明單調(diào)性時要遵循證明的邏輯關(guān)系，其步驟是：取→作差→判號→得出結(jié)論．
（2）當(dāng)a=

1

2

時，先證出函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)在[1，+∞）的最值．求解本題時要注意區(qū)間[1，+∞）無右端點．

解答：解：（1）當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）是[1，+∞）單調(diào)增函數(shù)．（1分）
證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

x12+2x1+a

x1

-

x22+2x2+a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，（4分）
∵x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，a＜0
∴

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＜0，（6分）
∴f（x₁）＜f（x₂）
由單調(diào)性定義知f（x）為[1，+∞）單調(diào)增函數(shù)．（8分）
（2）當(dāng)a=

1

2

時，同理可證f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，（10分）
∴當(dāng)x=1時，f（x）的最小值為f(1)=

7

2

（12分）
又f（x）無最大值，（14分）
∴f（x）只存在最小值為

7

2

．（15分）
（若用導(dǎo)數(shù)處理則類似給分）

點評：本題考點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，主要考查用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明函數(shù)單調(diào)性的能力，本題中函數(shù)解析式是一個分工，在證明時要注意靈活選用方法進行變形，方便判號，定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是：取值、作差變形、定號、判斷結(jié)論．