Question

已知b函數(shù)f（x）=，x∈[1，∞）．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要求先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，故應(yīng)注意做題格式，用定義法證明單調(diào)性時(shí)要遵循證明的邏輯關(guān)系，其步驟是：取→作差→判號(hào)→得出結(jié)論．
（2）當(dāng)時(shí)，先證出函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)在[1，∞）的最值．求解本題時(shí)要注意區(qū)間[1，∞）無(wú)右端點(diǎn)．
解答：解：（1）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是[1，+∞）單調(diào)增函數(shù)．（1分）
證明：任取x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=-=，（4分）
∵x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，a＜0
∴＜0，（6分）
∴f（x₁）＜f（x₂）
由單調(diào)性定義知f（x）為[1，+∞）單調(diào)增函數(shù)．（8分）
（2）當(dāng)時(shí)，同理可證f（x）在[1，∞）是增函數(shù)，（10分）
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）的最小值為（12分）
又f（x）無(wú)最大值，（14分）
∴f（x）只存在最小值為．（15分）
（若用導(dǎo)數(shù)處理則類似給分）
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，主要考查用函數(shù)單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)單調(diào)性的能力，本題中函數(shù)解析式是一個(gè)分工，在證明時(shí)要注意靈活選用方法進(jìn)行變形，方便判號(hào)，定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是：取值、作差變形、定號(hào)、判斷結(jié)論．