Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同時(shí)滿足條件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
則m的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：①由于g（x）=2^x-2≥0時(shí)，x≥1，根據(jù)題意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞1時(shí)成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求
②由于x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2^x-2＜0，則f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）時(shí)成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
解答：解：對于①∵g（x）=2^x-2，當(dāng)x＜1時(shí)，g（x）＜0，
又∵①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立
則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左面
則
∴-4＜m＜0即①成立的范圍為-4＜m＜0
又∵②x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0
∴此時(shí)g（x）=2^x-2＜0恒成立
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，則只要-4比x₁，x₂中的較小的根大即可
（i）當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，-m-3＜-4不立
（ii）當(dāng)m=-1時(shí)，有2等根，不成立
（iii）當(dāng)-4＜m＜-1時(shí)，2m＜-4即m＜-2成立
綜上可得①②成立時(shí)-4＜m＜-2
故答案為：（-4，-2）
點(diǎn)評：本題主要考查了全稱命題與特稱命題的成立，指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵