Question

過x軸上的動點T（t，0），引拋物線y=x²+1兩條切線TP，TQ，P，Q為切點．
（Ⅰ）求證：直線PQ過定點N，并求出定點N坐標；
（Ⅱ）若t≠0，設弦PQ的中點為M，試求S_△OTM|OT|的最小值（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據拋物線方程設出P，Q的坐標，把P，Q分別代入拋物線方程進行求導，可求得直線TP，TQ的斜率，進而利用兩點表示出兩直線的斜率，建立等式整理后可推斷出x₁，x₂為方程x²-2tx-1=0的兩根，利用韋達定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用點斜式表示出直線PQ的方程，整理后把x₁+x₂和x₁x₂的表達式代入，求得y=2tx+2，進而可推斷出直線PQ恒過定點（0，2）
（Ⅱ）設出點M的坐標，進而利用三角形面積公式表示出△OTM的面積，根據直線PQ恒過定點（0，2），設直線PQ方程，代入拋物線方程，整理后，利用韋達定理求得（x₁+x₂）=Kx₁x₂=-1．利用二次函數的性質可k的值確定y₀的最小值，進而確定S_△OTM|OT|的最小值．

解答：解：（Ⅰ）設P（x₁，x₁²+1），Q（x₂，x₂²+1）
把P代入拋物線方程進行求導得y'=2x₁，即PT的斜率為2x₁，
∴

x 2 1 +1

x1-t

=2x₁，整理得x₁²-2tx₁-1=0；同理可得x₂²-2tx₂-1=0
∴x₁，x2為方程x²-2tx-1=0的兩根
∴x₁+x₂=2t，x₁x₂=-1
直線PQ的方程：y-（x₁²+1）=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

（x-x₁）
整理得：y=（x₁+x₂）x-x₁x₂+1；即y=2tx+2
∴直線PQ恒過定點（0，2）
（Ⅱ）設點M坐標為（x₀，y₀），則s_△OTM：|OT|=(

1

2

y0•|t|)：|t|=

y0

2

，
由（Ⅰ）直線PQ過定點N（0，2），
設直線PQ方程為y=kx+2代入y=x²+1整理得x²-kx-1=0，
設p（x₁，y₁）Q（x₁，y₂），則（x₁+x₂）=Kx₁x₂=-1，y₀=k₀+2=k•

x1+x2

2

+2=

k2

2

+2≥2，
當k=0時，y₀最小值為：2，
所以s_△OTM|OT|最小值為：1．

點評：本題主要考查了拋物線的應用和直線與拋物線的關系．注重了學生分析推理和基本的計算能力的考查．