Question

20．如圖，已知銳角α，鈍角β的始邊都是x軸的非負(fù)半軸，終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），Q（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）
（1）求sin∠POQ；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}{cos^2}$x+sin2x，x∈[0，α]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）∠POQ=β-α，利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可；
（2）利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意，得$sinα=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，cosα=\frac{1}{2}$，$sinβ=\frac{4}{5}，cosβ=-\frac{3}{5}$-------------（2分）
∵α，β分別是銳角，鈍角
$\begin{array}{l}∴sin∠POQ=sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα\end{array}$------（4分）
=$\frac{4}{5}•\frac{1}{2}-（-\frac{3}{5}）•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$α=\frac{π}{3}$----------------（6分）
$f（x）=\sqrt{3}+\sqrt{3}cos2x+sin2x$-----------------（7分）
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$---------------------（9分）
∵$x∈[0，\frac{π}{3}]$
∴$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，π]$
∴$sin（2x+\frac{π}{3}）∈[0，1]$----------------------（11分）
∴f（x）的值域是$[\sqrt{3}，2+\sqrt{3}]$----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查任意角三角函數(shù)的定義，兩角差的正弦公式、降冪公式、輔助角公式及三角函數(shù)的圖象等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想方法．