Question

15．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足b_n=2log₂a_n，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）若對(duì)任意的n∈N*，都有$\frac{S_n}{a_n}≤\frac{S_k}{a_k}$成立，求正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)b_n=2log₂a_n，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出求S_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡(jiǎn)${c}_{n}=\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$，化簡(jiǎn)c_n+1-c_n式子，再對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論判斷出符號(hào)，求出數(shù)列{c_n}中最大項(xiàng)即可得到正整數(shù)k的值．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閿?shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以${a_n}=2×{2^{n-1}}={2^n}$．…（2分）
所以${b_n}=2{log_2}{a_n}=2{log_2}{2^n}=2n$．…（3分）
所以${S_n}=2+4+…+2n=\frac{n（2+2n）}{2}={n^2}+n$；…（6分）
（Ⅱ）令${c_n}=\frac{S_n}{a_n}=\frac{{{n^2}+n}}{2^n}=\frac{n（n+1）}{2^n}$，
則${c_{n+1}}-{c_n}=\frac{{{S_{n+1}}}}{{{a_{n+1}}}}-\frac{S_n}{a_n}=\frac{（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}-\frac{n（n+1）}{2^n}=\frac{（n+1）（2-n）}{{{2^{n+1}}}}$．…（9分）
所以當(dāng)n=1時(shí)，c₁＜c₂，
當(dāng)n=2時(shí)，c₃=c₂，
當(dāng)n≥3時(shí)，c_n+1-c_n＜0，即c₃＞c₄＞c₅＞…，
所以數(shù)列{c_n}中最大項(xiàng)為c₂和c₃．
所以存在k=2或3，使得對(duì)任意的正整數(shù)n，都有$\frac{S_k}{a_k}≥\frac{S_n}{a_n}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及作差法判斷數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．