已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+1．
（1）若f（x）在（0，2]是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在（0，2]上的最大值M（a）．
【答案】分析：（1）由題意，f′（x）=+a≥0在（0，2]上恒成立，分離參數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可求得a的取值范圍；
（2）分類討論：①當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2]上遞增；②a＜0時，令f′（x）=0，可得x=-，進(jìn)一步確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值．
解答：解：（1）由題意，f′（x）=+a≥0在（0，2]上恒成立
∴a≥-在（0，2]上恒成立，∴a≥-
（2）①當(dāng)a≥0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2]上遞增，∴M（a）=f（2）=2a+ln2+1
②a＜0時，令f′（x）=0，可得x=-
若a＜，f（x）在（0，-）上遞增，在（-，2]遞減，故M（a）=f（-）=-ln（-a）
若-≤a＜0，則f'（x）＜0恒成立，，f（x）在（0，2]上遞增，故M（a）=f（2）=2a+ln2+1
綜上可得f（x）的最大值M（a）=．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當(dāng)a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當(dāng)x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當(dāng)x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當(dāng)x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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