有n(n≥3,n∈N*)個(gè)首項(xiàng)為1,項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列,設(shè)其第m(m≤n,m∈N*)個(gè)等差數(shù)列的第k項(xiàng)為amk(k=1,2,3,…,n),且公差為dm.若d1=1,d2=3,a1n,a2n,a3n,…,ann也成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求dm(3≤m≤n)關(guān)于m的表達(dá)式;
(Ⅱ)將數(shù)列dm分組如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9)…,
(每組數(shù)的個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列),設(shè)前m組中所有數(shù)之和為(cm4(cm>0),求數(shù)列{2cmdm}的前n項(xiàng)和Sn;
(Ⅲ)設(shè)N是不超過20的正整數(shù),當(dāng)n>N時(shí),對(duì)于(Ⅱ)中的Sn,求使得不等式
1
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(Sn-6)>dn
成立的所有N的值.
解(Ⅰ)由題意知,amn=1+(n-1)dm
a2n-a1n=[1+(n-1)d2]-[1+(n-1)d1]=(n-1)(d2-d1),同理,a3n-a2n=(n-1)(d3-d2),a4n-a3n=(n-1)(d4-d3),,ann-a(n-1)n=(n-1)(dn-dn-1).a(chǎn)1n,a2n,a3n,,ann成等差數(shù)列,
所以a2n-a1n=a3n-a2n=…=ann-a(n-1)n,
故d2-d1=d3-d2=…=dn-dn-1
即{dn}是公差是d2-d1=3-1=2的等差數(shù)列.
所以,dm=2m-1(3≤m≤n,m,n∈N*).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知dm=2m-1(m∈N*).
數(shù)列dm分組如下:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),…
按分組規(guī)律,第m組中有2m-1個(gè)奇數(shù),
所以第1組到第m組共有1+3+5+…+(2m-1)=m2個(gè)奇數(shù).
注意到前k個(gè)奇數(shù)的和為1+3+5+…+(2k-1)=k2
所以前m2個(gè)奇數(shù)的和為(m22=m4,即前m組中所有數(shù)之和為m4
所以(cm4=m4
因?yàn)閏m>0,所以cm=m,從而2cmdm=(2m-1)•2m(m∈N*)
所以Sn=1•2+3•22+5•23+7•24+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n.2Sn
=1•22+3•23+5•24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1
故-Sn=2+2•22+2•23+2•24+…+2•2n-(2n-1)•2n+1
=2(2+22+23+…+2n)-2-(2n-1)•2n+1
=
2(2n-1)
2-1
-2-(2n-1)•2n+1
=(3-2n)2n+1-6,
所以Sn=(2n-3)2n+1+6.
(Ⅲ)由(Ⅱ)得dn=2n-1(n∈N*),Sn=(2n-3)2n+1+6(n∈N*).
故不等式
1
50
(Sn-6)>dn
就是(2n-3)2n+1>50(2n-1).
考慮函數(shù)f(n)=(2n-3)2n+1-50(2n-1)=(2n-3)(2n+1-50)-100.
當(dāng)n=1,2,3,4,5時(shí),都有f(n)<0,
即(2n-3)2n+1<50(2n-1).
而f(6)=9(128-50)-100=602>0,
注意到當(dāng)n≥6時(shí),f(n)單調(diào)遞增,故有f(n)>0.
因此當(dāng)n≥6時(shí),(2n-3)2n+1>50(2n-1)成立,
1
50
(Sn-6)>dn
成立.
所以滿足條件的所有正整數(shù)N=5,6,7,20.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)求dm(3≤m≤n)關(guān)于m的表達(dá)式;
(Ⅱ)將數(shù)列dm分組如下:(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9)…,(每組數(shù)的個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列),設(shè)前m組中所有數(shù)之和為(cm4(cm>0),求數(shù)列{2cmdm}的前n項(xiàng)和Sn
(Ⅲ)設(shè)N是不超過20的正整數(shù),當(dāng)n>N時(shí),對(duì)于(Ⅱ)中的Sn,求使得不等式
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(Sn-6)>dn
成立的所有N的值.

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(2012•武昌區(qū)模擬)為美化環(huán)境,某地決定在一個(gè)大型廣場(chǎng)建一個(gè)同心圓形花壇,花壇分為兩部分,中間小圓部分種植草坪,周圍的圓環(huán)分為n(n≥3,n∈N)等份種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花.要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.如圖①,圓環(huán)分成的3等份分別為a1,a2,a3,有6種不同的種植方法.

(1)如圖②,圓環(huán)分成的4等份分別為 a1,a2,a3,a4,有
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種不同的種植方法;
(2)如圖③,圓環(huán)分成的n(n≥3,n∈N)等份分別為a1,a2,a3,…,an,有
2n-2•(-1)n-3(n≥3且n∈N)
2n-2•(-1)n-3(n≥3且n∈N)
種不同的種植方法.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

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(Ⅲ)設(shè)N是不超過20的正整數(shù),當(dāng)n>N時(shí),對(duì)于(Ⅱ)中的Sn,求使得不等式數(shù)學(xué)公式成立的所有N的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江蘇省泰州市泰興中學(xué)高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

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