Question

【題目】某高中畢業(yè)學(xué)年，在高校自主招生期間，把學(xué)生的平時(shí)成績(jī)按“百分制”折算，排出前n名學(xué)生，并對(duì)這n名學(xué)生按成績(jī)分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60．
（Ⅰ）請(qǐng)?jiān)趫D中補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若Q大學(xué)決定在成績(jī)高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試．
①若Q大學(xué)本次面試中有B、C、D三位考官，規(guī)定獲得兩位考官的認(rèn)可即面試成功，且面試結(jié)果相互獨(dú)立，已知甲同學(xué)已經(jīng)被抽中，并且通過這三位考官面試的概率依次為 、 ， ，求甲同學(xué)面試成功的概率；
②若Q大學(xué)決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生接受考官B的面試，第3組中有ξ名學(xué)生被考官B面試，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵第四組的人數(shù)為60，

∴總?cè)藬?shù)為：5×60=300，

由直方圖可知，第五組人數(shù)為：0.02×5×300=30人，

又 為公差，

∴第一組人數(shù)為：45人，第二組人數(shù)為：75人，第三組人數(shù)為：90人（4分）

（Ⅱ）①設(shè)事件A=甲同學(xué)面試成功，

則P（A）= ..

②由題意得，ξ=0，1，2，3，

，

，

，

，

分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

【解析】（Ⅰ）由第四組的人數(shù)能求出總?cè)藬?shù)，由此能補(bǔ)全頻率分布直方圖．（Ⅱ）①設(shè)事件A=甲同學(xué)面試成功，由此利用獨(dú)立事件概率公式能求出甲同學(xué)面試成功的概率．②由題意得，ξ=0，1，2，3，分別求出其概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【考點(diǎn)精析】掌握分層抽樣和頻率分布直方圖是解答本題的根本，需要知道先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本；頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息．