Question

 [2012·山東卷] 如圖1－6，幾何體E－ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

圖1－6

(1)求證：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC.

Answer 1

證明：(1)取BD的中點(diǎn)O，連接CO，EO.

由于CB＝CD，所以CO⊥BD，

又EC⊥BD，EC∩CO＝C，

CO，EC⊂平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，

因此BD⊥EO，

又O為BD的中點(diǎn)，

所以BE＝DE.

(2)證法一：取AB的中點(diǎn)N，連接DM，DN，MN，

因?yàn)?i>M是AE的中點(diǎn)，

所以MN∥BE.

又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，

所以MN∥平面BEC，

又因?yàn)椤?i>ABD為正三角形，

所以∠BDN＝30°，

又CB＝CD，∠BCD＝120°，

因此∠CBD＝30°，

所以DN∥BC，

又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC，

又MN∩DN＝N，

故平面DMN∥平面BEC，

又DM⊂平面DMN，

所以DM∥平面BEC.

證法二：

延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)F，連接EF.

因?yàn)?i>CB＝CD，∠BCD＝120°.

所以∠CBD＝30°.

因?yàn)椤?i>ABD為正三角形．

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，

因此∠AFB＝30°，

所以AB＝AF.

又AB＝AD，

所以D為線段AF的中點(diǎn)．

連接DM，由點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)，

因此DM∥EF.

又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，

所以DM∥平面BEC.