Question

已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）當a=1時，求不等式f（x）≥5的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集A滿足[1，2]⊆A，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）去掉絕對值，化簡f（x）的解析式，分類討論求得不等式f（x）≥5的解集．
（2）由題意可得當x∈[1，2]時，f（x）≤|x-4|恒成立，即|x+a|≤2恒成立，即-2-x≤a≤2-x恒成立，從而求得a的范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|=

2x-1，x≥2 3，-1＜x＜2 -2x+1，x≤-1

，
對于等式f（x）≥5，
當x≥2時，由2x-1≥5，求得x≥3；
當-1＜x＜2時，由3≥5，解得不等式無解；
當x≤-1時，由-2x+1≥5，解得x≤-2．
綜上可得，不等式f（x）≥5的解集為{x|x≥3或x≤-2}．
（2）f（x）≤|x-4|的解集A滿足[1，2]⊆A，等價于當x∈[1，2]時，f（x）≤|x-4|恒成立．
由于當x∈[1，2]時，|x+a|+2-x≤4-x恒成立，
即當x∈[1，2]時，|x+a|≤2恒成立，即-2≤x+a≤2恒成立，-2-x≤a≤2-x恒成立，
故-3≤a≤0．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．