（本題滿分12分）

如圖，已知橢圓的長軸為，過點(diǎn)的直線與軸垂直，直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長到點(diǎn)使得，連接并延長交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系．

 

 

【答案】

（1） ；（2）直線與以為直徑的圓相切.

【解析】(1)此方程表示過定點(diǎn)的直線系，可以先確定其定點(diǎn)，即可確定b的值，然后根據(jù)離心率，可以求出a,進(jìn)而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2) 設(shè)，則.，

，

點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)在以為直徑的圓上.

然后證明的關(guān)鍵是,用坐標(biāo)表示出來，證明其數(shù)量積等于即可.

解：（1）將整理得，解方程組得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)為.

由離心率，得.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ……5分

（1）   設(shè)，則.，

，

點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，即點(diǎn)在以為直徑的圓上.

又直線l的方程為.令，得.

又，的中點(diǎn)，

，直線與以為直徑的圓相切……12分

 

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（ 本題滿分12分 ）
已知函數(shù)f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若x∈[0，
π2
]，求f（x）的最大值，最小值．

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（本題滿分12分）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，，

設(shè)，數(shù)列.

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已知集合A={x| | x–a | < 2，xÎR }，B={x|<1，xÎR }．

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(2) 若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

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(本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)（，為常數(shù)），且方程有兩個(gè)實(shí)根為.

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（2）證明：曲線的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心.

 

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（本題滿分12分,（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問6分，（Ⅲ）小問2分.）

如圖所示，直二面角中，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點(diǎn)，且⊥平面

（Ⅰ）求證：⊥平面

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.

 

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