Question

設函數f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2）（a∈R）
（1）當a=-2時，求函數f（x）的定義域；
（2）若函數f（x）的定義域為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）當a=-2 時，由題意可得|x+1|+|x+2|＞2，去掉絕對值，轉化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得|x+1|+|x-a|-2＞0恒成立，再利用絕對值三角不等式求得|x+1|+|x-a|的最小值為|a+1|，可得|a+1|＞2，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）當a=-2 時，f（x）=lg（|x+1|+|x+2|-2），
若函數f（x）有意義，則|x+1|+|x+2|-2＞0，即|x+1|+|x+2|＞2，
∴

x＜-2 -2x-3＞2

 ①，或 

-2≤x＜-1 -1＞2

 ②，或

x≥-1 2x+3＞2

  ③，
解①求得 x＜-

5

2

，解②求得x∈∅，解③求得x＞-

1

2

，
故函數的定義域為（-∞，-

5

2

）、（-

1

2

，+∞）．
（2）若函數f（x）的定義域為R，則|x+1|+|x-a|-2＞0恒成立．
由于|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=a+1，∴|a+1|＞2，
解得 a＞1，或a＜-3．

點評：本題主要考查對數函數的圖象和性質的綜合應用，絕對值三角不等式，函數的恒成立問題，屬于基礎題．