Question

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．

（Ⅰ）求函數(shù)在R上的解析式；

（Ⅱ）若，函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m使得的最小值為，若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在實(shí)數(shù)使得的最小值為．

【解析】

Ⅰ根據(jù)奇函數(shù)的對稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

Ⅱ求出的表達(dá)式，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，通過討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，判斷最小值是否滿足條件即可．

Ⅰ若，則，

∵當(dāng)時(shí)，且是奇函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，，

則．

Ⅱ若，

，

設(shè)，∵，∴，

則等價(jià)為，

對稱軸為，

若，即時(shí)，在上為增函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，

即，即成立，

若，即時(shí)，在上為減函數(shù)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，

即，此時(shí)不成立，

若，即時(shí)，在上不單調(diào)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，最小，

即，

此時(shí)在時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得最小值為，即此時(shí)不滿足條件．

綜上只有當(dāng)才滿足條件．

即存在存在實(shí)數(shù)使得的最小值為．