Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)，且是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間 上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)，3個(gè)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍分別為多少？（參考數(shù)據(jù)：，）

Answer 1

（1）a=4；

（2）當(dāng)時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減；

（3）0個(gè)時(shí)，m<2；3個(gè)時(shí)，≤m<

【解析】

試題分析：【解析】
（1）， 2分

得a=4． 3分

（2）由（1）知，由，解得，

由及x>0得或，

于是當(dāng)時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減． 7分

（3）令g（x）=f（x）-m=0，于是f（x）=m，所以函數(shù)y=g（x）在區(qū)間（0,5]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

y=f（x），x∈（0,5]與直線y=m交點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 9分

由下表：

x	（0,1）	1	（1,3）	3	（3,5）	5
	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值2	↗	極大值	↘

注意到： > >2，

所以函數(shù)f（x）在（0,5]的最小值為2，無(wú)最大值 11分

結(jié)合大致圖象可知：

當(dāng)m<2時(shí)，g（x）=f（x）-m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)m=2或m>時(shí)，g（x）=f（x）-m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

當(dāng)2<m<或m=時(shí)，g（x）=f（x）-m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；

當(dāng)≤m<時(shí)，g（x）=f（x）-m的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3． 14分

考點(diǎn)：本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值；函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)