Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，且AB=PD=1．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求異面直線PC與AB所成的角；
（3）求直線PB和平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接AC，BD，證明AC⊥BD，PD⊥AC，即可證明AC⊥平面PBD，從而可得結(jié)論；
（2）求得∠PCD（或其補角）即為異面直線PC與AB所成的角，即可求解；
（3）證明AB⊥平面PAD，可得∠APB為直線PB和平面PAD所成角，從而可求直線PB和平面PAD所成角的正切值．

解答：（1）證明：連接AC，BD，則

∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D
∴AC⊥平面PBD
∵PB?平面PBD，∴AC⊥PB；
（2）解：∵AB∥CD，∴∠PCD（或其補角）即為異面直線PC與AB所成的角；
∵PD⊥DC，且DC=AB=PD=1．
∴∠PCD=45°；
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PD⊥AB
∵底面ABCD為正方形，∴AB⊥AD
∵AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD
∴∠APB為直線PB和平面PAD所成角
∵AB=1，PD=

2

∴tan∠APB=

2

2

∴直線PB和平面PAD所成角的正切值為

2

2

．

點評：本題考查線面垂直，線線垂直，考查空間角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確作出空間角是關(guān)鍵．