Question

函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D，使得函數(shù)f（x）滿足：（1）f（x）在[a，b]內是單調函數(shù)；（2）f（x）在[a，b]上的值域為[ka，kb]，則稱區(qū)間[a，b]為y=f（x）的“和諧k區(qū)間”．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)g（x）=x²，h（x）=lnx是否存在“和諧2區(qū)間”，若存在，找出一個符合條件的區(qū)間；若不存在，說明理由．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=e^x存在“和諧k區(qū)間”，求正整數(shù)k的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）函數(shù)g（x）=x²存在“和諧2區(qū)間”，如區(qū)間[0，2]；函數(shù)h（x）=lnx不存在“和諧2區(qū)間”．利用反證法結合“和諧k區(qū)間”的定義可證得結論；
（II）由于函數(shù)f（x）=e^x為R上的增函數(shù)，若f（x）在[a，b]上的值域為[ka，kb]，則必有f（a）=ka，f（b）=kb，所以a，b為方程f（x）=kx的兩個不等根，進而可得正整數(shù)k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)g（x）=x²存在“和諧2區(qū)間”，如區(qū)間[0，2]；
函數(shù)h（x）=lnx不存在“和諧2區(qū)間”．…（2分）
下用反證法證明：
若函數(shù)h（x）=lnx存在“和諧2區(qū)間”[a，b]，
由于h（x）=lnx在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，
所以h（a）=2a，h（b）=2b，
所以a，b為方程h（x）=2x的兩個不等根，
令φ（x）=h（x）-2x=lnx-2x，則φ′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

，
由φ'（x）＞0，得x∈(0，

1

2

)，由φ'（x）＜0得x∈(

1

2

，+∞)，
所以φ（x）在(0，

1

2

)單調遞增，在(

1

2

，+∞)單調遞減，
所以φ(x)≤φ(

1

2

)=ln

1

2

-1＜0，即h（x）＜2x恒成立，
故函數(shù)h（x）=lnx不存在“和諧2區(qū)間”．…（6分）
（Ⅱ）由于函數(shù)f（x）=e^x為R上的增函數(shù)，
若f（x）在[a，b]上的值域為[ka，kb]，則必有f（a）=ka，f（b）=kb，
所以a，b為方程f（x）=kx的兩個不等根，…（8分）
令v（x）=f（x）-kx=e^x-kx（k∈N^*），
則v'（x）=e^x-k，
由v'（x）=e^x-k＞0知x＞lnk，
由v'（x）=e^x-k＜0知0＜x＜lnk，
所以函數(shù)v（x）在區(qū)間（-∞，lnk）單調遞減，在區(qū)間（lnk，+∞）上單調遞增，
所以v（x）≥v（lnk）．…（10分）
由于v（x）在R上有兩個零點，
所以v（lnk）=e^lnk-klnk=k（1-lnk）＜0，
所以k＞e，又k為正整數(shù)，所以k的最小值為3．…（12分）

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，其中正確理解“和諧k區(qū)間”的概念是解答的關鍵．